Die Bedeutung von charakteristischen Funktionen in der mathematischen Statistik und deren Anwendungen PDF

Ein Maß ordnet Teilmengen einer Die Bedeutung von charakteristischen Funktionen in der mathematischen Statistik und deren Anwendungen PDF Zahlen zu. Das Bild illustriert die Monotonieeigenschaft von Maßen, das heißt größere Mengen haben auch ein größeres Maß. Größe dieser Mengen interpretiert werden können.


Författare: Bettina Baumeister.
Die rasche Entwicklung der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde durch die Einführung der Theorie der charakteristischen Funktionen begünstigt. Diese Arbeit setzt sich mit den charakteristischen Funktionen ein- und mehrdimensionaler Zufallsvariablen und deren Anwendungen auseinander. Schwerpunktmäßig werden die «unendlich teilbaren» und die «analytischen» charakteristischen Funktionen sowie die fundamentalen Grenzwertsätze dargestellt. Präsentiert werden Ergebnisse über die generellen Anwendungs- und Einsatzmöglichkeiten charakteristischer Funktionen.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der elementargeometrische Flächeninhalt ordnet ebenen geometrischen Figuren wie Rechtecken, Dreiecken oder Kreisen, also gewissen Teilmengen der euklidischen Ebene, Zahlenwerte zu. Halbebenen oder dem Äußeren von Kreisen als Flächeninhalt vor. Allerdings dürfen keine negativen Zahlen als Flächeninhalte auftreten. Das Maß einer abzählbaren disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe über die Maße der einzelnen Teilmengen. Weiterhin besitzt der Flächeninhalt ebener geometrischer Figuren eine Eigenschaft, die Additivität genannt wird: Zerlegt man eine Figur in zwei oder mehr Teile, beispielsweise ein Rechteck mittels einer Diagonale in zwei Dreiecke, dann ist der Flächeninhalt der Ausgangsfigur die Summe der Flächeninhalte der Teile.

Die Bedeutung der σ-Additivität für den Maßbegriff wurde erstmals von Émile Borel erkannt, der 1894 bewies, dass die elementargeometrische Länge diese Eigenschaft besitzt. Grundmenge definiert werden können, müssen geeignete Definitionsbereiche für Maße betrachtet werden. Die σ-Additivität legt es nahe, dass Systeme messbarer Mengen abgeschlossen gegenüber abzählbaren Mengenoperationen sein sollten. Maurice René Fréchet betrachtete ab 1915 auch Maße und Integrale auf beliebigen abstrakten Mengen.

Grundmenge und der darauf definierten σ-Algebra heißt Messraum oder auch messbarer Raum. Das Lebesgue-Maß ist nicht endlich, aber σ-endlich. Das Hausdorff-Maß ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes auf nicht notwendig ganzzahlige Dimensionen. Mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion lässt sich diese Formel im Falle endlicher Maße auf Vereinigungen und Schnitte endlich vieler Mengen verallgemeinern. Die folgenden Stetigkeitseigenschaften sind grundlegend für die Approximation messbarer Mengen. Sie folgen direkt aus der σ-Additivität.

Insbesondere sind zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gleich, wenn sie auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger der Ereignisalgebra übereinstimmen. Der Eindeutigkeitssatz liefert zum Beispiel die Eindeutigkeit der Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß mittels eines äußeren Maßes und dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Sie lassen sich als Konvexkombinationen von Diracmaßen konstruieren. Insbesondere sind Summen und nicht-negative Vielfache von Maßen ebenfalls Maße. Umgekehrt kann man zeigen, dass man auf diese Weise bei abzählbarer Grundmenge alle Maße auf der Potenzmenge erhält.

Durch Konvexkombination von Diracmaßen erhält man diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, allgemein ergeben sich Mischverteilungen. Maße häufig durch Fortsetzung von Mengenfunktionen konstruiert. Das wichtigste Hilfsmittel hierzu ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Die Fortsetzung ist eindeutig, wenn das Prämaß σ-endlich ist. Der elementare Volumeninhalt dieser sogenannten Figuren, der Jordan-Inhalt, ist ein Prämaß auf diesem Mengenring. Die von den Figuren erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra und die Fortsetzung des Jordan-Inhalts nach Carathéodory ergibt das Lebesgue-Borel-Maß. Es ist naheliegend, Teilmengen einer Nullmenge ebenfalls das Maß null zuzuordnen.

Ein Maßraum, in dem Teilmengen von Nullmengen stets messbar sind, wird vollständig genannt. Prämaß auf dem Mengenring der endlichen Vereinigungen solcher Intervalle definiert. Treppenfunktion, so erhält man Linearkombinationen von Diracmaßen. Lebesgue-Dichte besitzen, wie zum Beispiel die Cantor-Verteilung. Beispielsweise erhält man durch Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die borelsche σ-Algebra wieder das Lebesgue-Borel-Maß zurück. Ein Maß ordnet Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zu. Das Bild illustriert die Monotonieeigenschaft von Maßen, das heißt größere Mengen haben auch ein größeres Maß.